Question

（2013•永州模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O直徑，E是CB延長線上一點，且∠BAE=∠C．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若EB=AB，cosE=

4

5

，AE=24，求EB的長及⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理以及直徑所對圓周角得出∠1+∠D=90°，進而得出∠DAE=90°，即可得出直線AE是⊙O的切線；
（2）根據銳角三角函數關系得出EB=

EF

cosE

進而得出即可，再設BD=4k，則AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，進而得出答案．

解答：（1）證明：連接BD．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°．
∴∠1+∠D=90°．
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE．
∴∠1+∠BAE=90°．
即∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直徑，
∴直線AE是⊙O的切線．

（2）解：過點B作BF⊥AE于點F，則∠BFE=90°．
∵EB=AB，
∴∠E=∠BAE，EF=

1

2

AE=

1

2

×24=12．
∵∠BFE=90°，cosE=

4

5

，
∴EB=

EF

cosE

=

5

4

×12=15．
∴AB=15．
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，
∴∠D=∠E．
∵∠ABD=90°，
∴cosD=

BD

AD

=

4

5

．
設BD=4k，則AD=5k．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：
AB=

AD2-BD2

=3k，可求得k=5．
∴AD=25．
∴⊙O的半徑為

25

2

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及銳角三角形有關計算和圓周角定理等知識，根據已知得出BE=

EF

cosE

是解題關鍵．