如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是
，面積是54．求證：AC⊥BD．
證明見解析.
解析試題分析：由AD∥BC，可證明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性質即可求出BE的長，過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，所以CF=AD，再根據勾股定理的逆定理證明BD⊥DF即可證明AC⊥BD.
試題解析：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB. ∴AE：CE=DE：BE.
∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6.
∵S梯形=
（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15.
過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF="AD." ∴BF=AD+BC=15.
在△BDF中，BD2+DF2=92+122=225，BF2=225，∴BD2+DF2=BF2. ∴BD⊥DF.
∵AC∥DF，∴AC⊥BD.
考點：1.梯形的性質；2.相似三角形的判定和性質；3.平行四邊形的判定和性質；4.勾股定理的逆定理.
科目：初中數學 來源： 題型：解答題
提出問題
如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結CN．求證：∠ABC=∠ACN．
類比探究
如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
拓展延伸
如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連結AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當點P在AB上運動到什么位置時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的
；
（3）若點P從點A運動到點B，再繼續在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發，沿A→B→C向終點C運動，連接DM交AC于點N．
（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN
①試說明：
；
②若∠ABC=60°，AM=4，求點M到AD的距離．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．
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科目：初中數學 來源： 題型：解答題
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點O為AB中點，一個足夠大的三角板的直角頂點與點O重合，一邊OE經過點C，另一邊OD與AC交于點M．
（1）如圖1，當∠A=30°時，求證：MC2=AM2+BC2；
（2）如圖2，當∠A≠30°時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你認為正確的結論，并說明理由；
（3）將三角形ODE繞點O旋轉，若直線OD與直線AC相交于點M，直線OE與直線BC相交于點N，連接MN，則MN2=AM2+BN2成立嗎？
答： （填“成立”或“不成立”）
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是等邊三角形，點
、
分別在邊
、
上，
．
∽△
；（2）如果
，
，求
的長．
