Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+ x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B，C，點C的坐標為（8，0），連接AC．

（1）請直接寫出二次函數y=ax2+ x+c的表達式；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A和點C的坐標代入得： ，

解得：a=﹣ ，c=4．

∴該二次函數的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：令y=0得：﹣ x2+ x+4=0，解得：x=﹣2或x=8，

∴點B（﹣2，0）．

∴BC=10．

在Rt△AOB和Rt△AOC中，依據勾股定理可知：AB2=OB2+AO2=20，AC2=OA2+OC2=80，

∴AB2+AC2=BC2．

∴△ABC為直角三角形

（3）

解：設點N的坐標為（n，0）（﹣2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8﹣n．

∵MN∥AC，

∴ = ．

∵AO=4，BC=10，

∴S△ABC= BCAO= ×4×10=20．

∴S△ABN= S△ABC=2（n+2）．

∴S△AMN= S△AMN= （8﹣n）（n+2）=﹣ （n﹣3）2+5．

∴當n=3時，即N（3，0）時，△AMN的面積最大，最大值為5

【解析】（1）將點A和點C的坐標代入代入拋物線的解析式，求得a，c的值即可；（2）先求得點B的坐標，從而得到BC=10，然后依據勾股定理可求得AB2、AC2的值，最后依據勾股定理的逆定理進行判斷即可；（3）設點N的坐標為（n，0）（﹣2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8﹣n，利用平行線分線段成比例定理可得到 = ，然后依據等高的兩個三角形的面積比等于底邊的長度比可得到S△AMN與n的函數關系式，最后利用二次函數的性質可求得△AMN的面積取得最大值時點N的坐標．