Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分別為AC，BC邊上的點（不包括端點），且==m，連結AE，過點D作DM⊥AE，垂足為點M，延長DM交AB于點F．

（1）如圖1，過點E作EH⊥AB于點H，連結DH．

①求證：四邊形DHEC是平行四邊形；

②若m=，求證：AE=DF；

（2）如圖2，若m=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）

【解析】（1）①先判斷出△BHE∽△BAC，進而判斷出HE=DC，即可得出結論；

②先判斷出AC=AB，BH=HE，再判斷出∠HEA=∠AFD，即可得出結論；

（2）先判斷出△EGB∽△CAB，進而求出CD：BE=3：5，再判斷出∠AFM=∠AEG進而判斷出△FAD∽△EGA，即可得出結論．

（1）①證明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，

∴EH∥CA，

∴△BHE∽△BAC，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴HE=DC，

∵EH∥DC，

∴四邊形DHEC是平行四邊形；

②∵，∠BAC=90°，

∴AC=AB，

∵，HE=DC，

∴HE=DC，

∴，

∵∠BHE=90°，

∴BH=HE，

∵HE=DC，

∴BH=CD，

∴AH=AD，

∵DM⊥AE，EH⊥AB，

∴∠EHA=∠AMF=90°，

∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，

∴∠HEA=∠AFD，

∵∠EHA=∠FAD=90°，

∴△HEA≌△AFD，

∴AE=DF；

（2）如圖，過點E作EG⊥AB于G，

∵CA⊥AB，

∴EG∥CA，

∴△EGB∽△CAB，

∴，

∴，

∵，

∴EG=CD，

設EG=CD=3x，AC=3y，

∴BE=5x，BC=5y，

∴BG=4x，AB=4y，

∵∠EGA=∠AMF=90°，

∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，

∴∠AFM=∠AEG，

∵∠FAD=∠EGA=90°，

∴△FAD∽△EGA，

∴.