Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2﹣2x+m（m＞0）的對(duì)稱軸與比例系數(shù)為5的反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，拋物線的圖象與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OB．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求直線AC的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在x軸上方的平面內(nèi)，且使以A、B、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1，反比例函數(shù)解析式是y= ，

把x=1代入y= ，得y=5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，5）；

（2）

解：由題意可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

∵OC=3OB，

∴OC=3，

∵m＞0，

∴m=3，

可設(shè)直線AC的表達(dá)式是y=kx+3，

∵點(diǎn)A在直線AC上，

∴k=2，

∴直線AC的表達(dá)式是y=2x+3；

（3）

解：當(dāng)AB、BE為菱形的邊時(shí)，如圖1，

設(shè)E（x，2x+3），則BE= ，

∵四邊形ABEF為菱形，

∴AB=BE=5，

∴ =5，解得x=1（E、A重合，舍去）或x=﹣3，

此時(shí)E（﹣3，﹣3），

∵EF∥AB且EF=AB，

∴F（﹣3，2），

當(dāng)AB、AE為邊時(shí)，則AE=AB=5，

同理可求得AE= ，

∴ =5，解得x=1﹣ （此時(shí)F點(diǎn)在第三象限，舍去）或x=1+ ，

∴E（1+ ，5+2 ），

∵EF∥AB且EF=AB，

∴F（1+ ，2 ）；

當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖2，

則EF過AB的中點(diǎn)，

∵A（1，5），B（1，0），

∴AB的中點(diǎn)為（1， ），

∵EF⊥AB，

∴EF∥x軸，

∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為 ，代入y=2x+3可得 =2x+3，解得x=﹣ ，

∴E（﹣ ， ），

∴F（ ， ）；

綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，2）或（1+ ，2 ）或（ ， ）

【解析】（1）可求得拋物線對(duì)稱軸方程和反比例函數(shù)解析式，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再由OC=3OB可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的表達(dá)式；（3）當(dāng)AB為菱形的邊時(shí)，則BE=AB或AE=AB，設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出BE的長，可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，由AB∥EF，則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，則EF被AB垂直平分，則可求得E的縱坐標(biāo)，從而可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱性可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．