Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點A（x₁，0），B（x₂，0）（A在B的左側），與y軸的正半軸交于點C．如果x₁+x₂=1，x₁•x₂=-6，且△ABC的面積為

15

2

．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）如果P是線段AC上一個動點（不與A、C重合），過點P作直線y=m（m為常數），與直線BC交于點Q，則在x軸上是否存在點R，使得以PQ為一腰的△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A，B的坐標，易求出三角形ABC的面積以及點C的坐標．易求解析式．
（2）假設存在點R，直線y=m與y軸的交點為點E，根據△PQR為等腰直角三角形列式求解即可．

解答：解：根據題意畫出圖形如下所示：

（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）假設存在滿足條件的點R，并設直線y=m與y軸的交點為E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
點P不與點A、C重合，
∴點E（0，m）不與點O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ為等腰直角三角形PQR的一腰，
過點P作PR₁⊥x軸于點R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
點P在直線AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴點R₁（-

3

4

，0）．
過點Q作QR₂⊥x軸于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴點R₂（

9

8

，0）．驗證成立，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）是滿足條件的點．

點評：本題考查的是二次函數的綜合運用，難度較大，要利用大量的輔助線的幫助，注意各部分知識的綜合應用，并注意總結積累這些綜合題的解題思路．