Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖①，當點E與點B重合時，點A恰好落在三角尺的斜邊DF上．

(1)利用圖①證明：EF＝2BC.

(2)在三角尺的平移過程中，在圖②中線段AH＝BE是否始終成立(假定AB，AC與三角尺的斜邊的交點分別為G，H)？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明見解析．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，得∠ACB=60°，AC=BC．結合三角形外角的性質，得∠CAF=30°，則CF=AC，從而證明結論；

（2）根據（1）中的證明方法，得到CH=CF．根據（1）中的結論，知BE+CF=AC，從而證明結論．

（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．

∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．

（2）成立．證明如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．

∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．

∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．

又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．