Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AE上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF·DB；

（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）PD=4，OA=．

【解析】試題分析：（1）利用圓周角定理得到∠AEB=90°，∠EAB=∠BDE，而∠BDE=∠CBE，則∠CBE+∠ABE=90°，則根據切線的判定方法可判斷BC是⊙O的切線；

（2）證明△DFE∽△DEB，然后利用相似比可得到結論；’

（3）連結DE，先證明OD∥BE，則可判斷△POD∽△PBE，然后利用相似比可得到關于PD的方程，再解方程求出PD即可．

試題解析：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；

（2）證明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴=DFDB；

（3）連結DE，如圖，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴，即，∴PD=4．