Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在綜合與實踐課上，同學們以“三角形的折疊”為主題開展數學活動．

操作發現

“楊輝”小組的同學用一張鈍角三角形紙片，為鈍角，進行了如下操作：

第一步：如圖1，折出的角平分線；

第二步：如圖2，展平紙片，再次折疊該三角形紙片，使預點與點重合，拆痕分別與，交于點，；

第三步：如圖3，再次展平紙片，連接，，可得四邊形．

（1）在圖4的中利用尺規作出折痕，；

（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

實踐探究

（2）試判斷圖3中四邊形的形狀，并寫出證明過程；

深入探究

（3）“陳景潤”小組的同學突發奇想，在“楊輝”小組同學操作的基礎上設計了這樣一個問題：在圖3中，連接，分別交于點，交于點，若，，利用相似三角形的知識可以求出的長．請你寫出求解過程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形，證明見解析；（3），過程見解析

【解析】

（1）作∠BAC的角平分線AD與BC交于點D，再做AD的中垂線與AB交于E，與AC交于F即可；

（2）由折疊可知，是的角平分線，是的垂直平分線，再通過垂直平分線和角平分線的性質可得，，即可證明四邊形是平行四邊形，再根據，得證平行四邊形是菱形；

（3）連接，通過證明，可得，即，求得，從而得出．

解：（1）如圖所示，

（2）菱形，

證明：由折疊可知，是的角平分線，是的垂直平分線，

∵是的垂直平分線

∴，，

∴，

∵是的角平分線

∴

∴，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵

∴平行四邊形是菱形．

（3）連接，

∵四邊形為菱形，

∴垂直平分，

∴點在的垂直平分線上，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.