Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在線BC、CD上運動，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與BD相交于點M、N．下列說法中：①BE+DF＝EF；②點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；③若tan∠BAE＝，則tan∠DAF＝；④若BE＝2，DF＝3，則S△AEF＝18．其中結論正確的是__（將正確的序號寫在橫線上）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

根據旋轉的性質得到BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，得到∠EAH=∠EAF=45°，根據全等三角形的性質得到EH=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+BH=BE+DF=EF，故①正確；過A作AG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到AB=AG，于是得到點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；故②正確；根據三角函數的定義設BE=m，AB=2m，求得CE=m，設DF=x，則CF=2m-x，EF=BE+DF=m+x，根據勾股定理得到x=m，于是得到tan∠DAF=；故正確；求得EF=BE+DF=5，設BC=CD=n，根據勾股定理即可得到結論.

解：如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，

由旋轉的性質得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中 ，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE+BH＝BE+DF＝EF，

故①正確；

過A作AG⊥EF于G，

∴∠AGE＝∠ABE＝90°，

在△ABE與△AGE中 ，

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AB＝AG，

∴點A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；故②正確；

∵tan∠BAE＝ ，

∴設BE＝m，AB＝2m，

∴CE＝m，

設DF＝x，則CF＝2m﹣x，EF＝BE+DF＝m+x，

∵CF2+CE2＝EF2，

∴（2m﹣x）2+m2＝（m+x）2，

∴x＝m，

∴；故③正確；

∵BE＝2，DF＝3，

∴EF＝BE+DF＝5，

設BC＝CD＝n，

∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，

∴EF2＝CE2+CF2，

∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，

∴n＝6（負值舍去），

∴AG＝6，

∴．故④錯誤，

故答案為：①②③．