Question

【題目】在平面直角坐標系中，將A（1，0）、B（0，2）、C（2，3）、D（3，1）用線段依次連接起來形成一個圖案（圖案①）．將圖案①繞點O逆時針旋轉90°得到圖案②；以點O為位似中心，位似比為1：2將圖案①在位似中心的異側進行放大得到圖案③．

（1）在坐標系中分別畫出圖案②和圖案③；

（2）若點D在圖案②中對應的點記為點E，在圖案③中對應的點記為點F，則S△DEF= ；

（3）若圖案①上任一點P（A、B除外）的坐標為（a，b），圖案②中與之對應的點記為點Q，圖案③中與之對應的點記為點R，則S△PQR= ．（用含有a、b的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）作圖參見解析；（2）15；（3）（a2+b2）.

【解析】

試題分析：（1）將圖案①中的各頂點繞點O逆時針旋轉90°得到知頂點的對應點，順次連接對應點得到圖案②；以點O為位似中心，位似比為1：2將圖案①在位似中心的異側進行放大得到圖案③；即連接OA，OB，OC，OD，并延長到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA，OB，OC，OD的2倍，順次連接各點即可；（2）根據網格分析S△DEF是由哪幾個圖形組成，利用面積公式計算．從圖中可看出三角形是矩形的面積﹣三個三角形的面積．所以S△DEF=9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）以特殊點點C看作點P,P（a，b），則Q點坐標（-b,a）,R點坐標為（-2a,-2b）,首先從圖中找出這個三角形的三點，然后再連線組成三角形，觀察網格得到三角形的面積公式=矩形﹣3個三角形的面積，列出式子計算．

試題解析：（1）將圖案①中的各頂點繞點O逆時針旋轉90°得到各個頂點的對應點，順次連接對應點得到圖案②；以點O為位似中心，位似比為1：2將圖案①在位似中心的異側進行放大得到圖案③；即連接OA，OB，OC，OD，并延長到A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′是OA，OB，OC，OD的2倍，順次連接各點，如圖②和圖③；

（2）從圖中可看出三角形DEF的面積是矩形的面積﹣三個三角形的面積．所以S△DEF=9×5﹣4×2÷2﹣5×5÷2﹣9×3÷2=15；（3）∵點P（在第一象限內）的坐標為（a，b），∴點Q的坐標為（-b，a），點R的坐標為（-2a，-2b），不妨設a＞b，S△PQR=（2a+a）（a+2b）-(2a-b)(2b+a)-(a+b)(a-b)-(2a+a)(2b+b)=3a2+6ab-(2a2-2b2+3ab+a2-b2+9ab)=3a2+6ab-a2+b2-6ab=（a2+b2）.