Question

【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F為BE的中點，連結DF，CF.

(1)如圖①，當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF，CF的數量關系和位置關系．

(2)如圖②，在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°，請你判斷此時(1)中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷．

(3)如圖③，在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°，若AD＝1，AC＝2，求此時線段CF的長(直接寫出結果)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析(2)(1)中的結論仍然成立(3)

【解析】試題分析：（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．

（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．

（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2，可以求出AB的值，進而可以根據勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

試題解析：(1)∵∠ACB=∠ADE=90°，F為BE的中點，

∴DF=BF=BE，CF=BE，∴DF=CF.

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.

∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.

∵∠DFE=∠DBF＋∠BDF，

∴∠DFE=2∠DBF.

同理，∠CFE=2∠CBF，

∴∠DFE＋∠CFE=2∠DBF＋2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF⊥CF.

(2)(1)中的結論仍然成立．

證明：如解圖①，延長DF交BC于點G.

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC.

∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF.

∵F為BE的中點，∴EF=BF.

∴△DEF≌△GBF(AAS)．∴DE=GB，DF=GF.

∵AD=DE，∴AD=GB.

∵AC=BC，∴AC－AD=BC－GB，

即DC=GC.

∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF.

(3)如解圖②，延長DF交BA于點H.

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE，

∠AED=∠ABC=45°.

由旋轉可知∠CAE=∠BAD=∠ACB=90°，

∴AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF.

∵F是BE的中點，∴EF=BF.

又∵∠DFE=∠HFB，

∴△DEF≌△HBF(ASA)．∴ED=BH.

∵BC=AC=2，∠ACB=90°，∴AB=4.

∵BH=ED=AD=1，∴AH=3.

∵∠BAD=90°，∴DH=，

∴DF=

.∴CF=.