Question

【題目】已知拋物線的圖象與軸有兩個公共點．

（1）求的取值范圍，寫出當取其范圍內最大整數時拋物線的解析式；

（2）將（1）中所求得的拋物線記為，

①求的頂點的坐標；

②若當時， 的取值范圍是，求的值；

（3）將平移得到拋物線,使的頂點落在以原點為圓心半徑為的圓上，求點與兩點間的距離最大時的解析式，怎樣平移可以得到所求拋物線？

Answer 1

【答案】（1）;(2) ①,②1；（3）的解析式為．將拋物線記為向左平移,再向上平移即可得到拋物線．

【解析】試題分析：（1）函數圖形與x軸有兩個公共點，則該函數為二次函數且△＞0，故此可得到關于m的不等式組，從而可求得m的取值范圍；

（2）①把（1）中求得的函數解析式改為頂點式，即可得出頂點P的坐標；

②先求得拋物線的對稱軸，當1≤x≤n時，函數圖象位于對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，當x＝n時，y有最大值2n，然后將x＝n，y＝2n代入求解即可；

（3）由弦的性質可得當PQ經過圓心時，PQ有最大值，此時Q點位于第二象限．根據點P、O的坐標，求得直線OP的解析式，設出點Q的坐標，根據點Q在直線PO上，以及點Q到原點的距離是即可求出點Q的坐標，進而得出C2的解析式，得出C2如何由C1平移得到．

試題解析：

解：（1）由題意可得： ，

解得： 且

當取最大整數時，其值為2，此時函數解析式為： ．

（2）①由，頂點的坐標為.

②拋物線C1的對稱軸為，

∴當時， 隨的增大而增大．

∵當時， 的取值范圍是，

∴，

∴或（舍去）．

∴．

（3）由弦的性質，當線段經過圓心時， 距離最大，此時點位于第二象限．

由， 可求得直線的解析式為： ，

設，PQ在直線上， ，

圓半徑為， ，

解之得（舍去）或者，故．

∴的解析式為: ．

將拋物線記為向左平移再向上平移即可得到拋物線記為．