Question

【題目】已知：如圖一次函數y= x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數y= x2+bx+c的圖象與一次函數y= x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標為（1，0）．

（1）求二次函數的解析式；
（2）求四邊形BDEC的面積S；
（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y= x2+bx+c，

得： ，

得解析式y= x2﹣ x+1

（2）

解：設C（x0，y0）（x0≠0，y0≠0），

則有 解得 ，

∴C（4，3）

由圖可知：S四邊形BDEC=S△ACE﹣S△ABD，又由對稱軸為x= 可知E（2，0），

∴S= AEy0﹣ AD×OB= ×4×3﹣ ×3×1=

（3）

解：設符合條件的點P存在，令P（a，0）：

當P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸于F；

∵∠BPO+∠OBP=90°，∠BPO+∠CPF=90°，

∴∠OBP=∠FPC，

∴Rt△BOP∽Rt△PFC，

∴ ，

即 ，

整理得a2﹣4a+3=0，

解得a=1或a=3；

∴所求的點P的坐標為（1，0）或（3，0），

綜上所述：滿足條件的點P共有2個．

【解析】（1）根據直線BC的解析式，可求得點B的坐標，由于B、D都在拋物線的圖象上，那么它們都滿足該拋物線的解析式，通過聯立方程組即可求得待定系數的值．（2）根據拋物線的解析式，可求得E點的坐標，聯立直線BC的解析式，可求得C點坐標；那么四邊形BDEC的面積即可由△AEC、△ABD的面積差求得．（3）假設存在符合條件的P點，連接BP、CP，過C作CF⊥x軸于F，若∠BPC=90°，則△BPO∽△CPF，可設出點P的坐標，分別表示出OP、PF的長，根據相似三角形所得比例線段即可求得點P的坐標．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．