Question

如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象交于點A（-4，-2）和B（a，4）．
（1）求反比例函數的解析式和點B的坐標；
（2）根據圖象回答，當x在什么范圍內時，一次函數的值大于反比例函數的值？
（3）在X軸上是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由．
（4）在反比例函數的圖象有一點E，在x軸有一點F，使A、B、E、F組成平行四邊形，請直接寫出點F的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求得反比例函數解析式，然后把點B的坐標代入即可求得a的值；
（2）根據（1）中的點A、B的坐標，觀察圖象，找到直線落在雙曲線上方的部分對應的x的值即可；
（3）存在．這樣的點有四個，分AP=AB，BP=AB，AP=BP三種情況考慮，根據等腰三角形的性質或利用兩點間的距離公式列出方程，即可求解；
（4）存在．分兩種情況進行討論：①以AB為平行四邊形的對角線；②以AB為平行四邊形的邊．根據平行四邊形的性質和兩點間的距離公式進行計算，即可求解．

解答：解：（1）設反比例函數的解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵反比例函數圖象經過點A（-4，-2），
∴-4=

k

-2

，解得k=8．
∴反比例函數的解析式為y=

8

x

．
∵B（a，4）y=

8

x

在的圖象上，
∴4=

8

a

，解得a=2．
∴點B的坐標為B（2，4）；

（2）根據圖象得，當x＞2或-4＜x＜0時，一次函數的值大于反比例函數的值；

（3）存在這樣的點P．理由如下：
如圖1，設點P的坐標是（t，0）．
∵A（-4，-2），B（2，4），
∴AB=6

2

．
①當PB=PA時，△ABP為等腰三角形，此時點P在線段AB的垂直平分線上，易得與P點與原點O重合，則P₁（0，0）；
②當PB=AB時，PB=

(t-2)2+42

=6

2

，解得t=2±

14

，所以P₂（2+2

14

，0），P₃（2-2

14

，0）；
③當PA=AB時，PA=

(t+4)2+22

=6

2

，解得t=-4±2

17

，所以P₄（-4+2

17

，0），P₅（-4-2

17

，0）．
綜上，點P的坐標為（0，0），（-4+2

17

，0），（-4-2

17

，0），（2+2

14

，0），（2-2

14

，0）；

（4）設E（x，

8

x

），F（n，0）．分兩種情況：
①如圖2，當以AB為平行四邊形的對角線時，
∵A（-4，-2），B（2，4），
∴AB的中點坐標為（-1，1）．
∵A、B、E、F組成平行四邊形，
∴AB與EF互相平分，即EF中點與AB中點重合，
∵F點縱坐標為0，
∴E點縱坐標為2，即

8

x

=2，則x=4，E（4，2），
∴F₁（-6，0）；
②如圖3，當以AB為平行四邊形的邊時，則AB∥EF且AB=EF，

8 x x-n = 4+2 2+4 ( 8 x )2+(x-n)2=72

，
解得

x=- 4 3 n= 14 3

或

x= 4 3 n=- 14 3

，
∴F₂（

14

3

，0），F₃（-

14

3

，0）．
綜上，點F的坐標為F₁（-6，0），F₂（

14

3

，0），F₃（-

14

3

，0）．

點評：此題主要考查了待定系數法求反比例函數解析式，利用圖象判定函數的大小關系，等腰三角形的判定以及平行四邊形的判定．注意，解答（3）、（4）題時要分類討論，以防漏解．