Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2cm，AB＝8cm，CD＝10cm．
(1)求梯形ABCD的周長；
(2)動點P從點B出發，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向點C運動；動點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向點A運動；過點Q作QF⊥BC于點F．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：
在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) 28cm(2) 當t=或8≤t＜10或10＜t≤12時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形

解：（1）過點D作DE⊥BC于點E
∵四邊形ABCD是直角梯形
∴四邊形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE==="6"
∴梯形ABCD的周長= AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.
………3分
（2） ① 當0≤t≤8時，過點Q作QG⊥AB于點G
則AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，
∵Rt△CQF∽Rt△CDE
∴CF=，QF=，∴PG==，QG=8－
=（8－t）²+2²=t²－16t+68，
PQ²=QG²+PG²=（8－）²+（）²= 
若DQ=PD，則（10－t）²= t²－16t+68，解得：t=8；…………………5分
若DQ=PQ，則（10－t）²=，       
解得：t₁= ，t₂=＞8（舍去），此時t=；………6分
②當8＜t＜10時，PD=DQ=10－t，                
∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立； ……………………7分
③當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構成三角形；………………………8分
④當10＜t≤12時，PD="DQ=" t－10，
∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；     ………………………9分
綜上所述，當t=或8≤t＜10或10＜t≤12時，以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                ………………………10分
（1）過點D作DE⊥BC于點E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根據CE= 求出CE，即可求出BC的長，從而求得梯形ABCD的周長
（2）（i）當0≤t≤8時，過點Q作QG⊥AB于點G，過點Q作QF⊥CB于點F，根據△CQF∽△CDE得出，所以CF= ，QF= ，所以PG=t= ，QG=8-，然后分別用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=+64，若DQ=PD，則（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，則（10-t）²=+64，最后解方程即可；
（ii）當8＜t＜10時，PD=DQ=10-t，此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當t=10時，點P、D、Q三點重合，無法構成三角形，當10＜t≤12時，PD="DQ=" t－10，此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立，從而得出最后答案；