Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的頂點為P（x0，y0），點A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在該拋物線上，當y0≥0恒成立時，的最小值為（　　）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

主要是要是通過相似三角形邊的對應關系，構造所求的式子，并對結果找到限制條件即可

由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，

由題意，如圖，過點A作AA1⊥x軸于點A1，

則AA1=yA，OA1=1，

連接BC，過點C作CD⊥y軸于點D，則BD=yB﹣yC，CD=1，

過點A作AF∥BC，交拋物線于點E（x1，yE），交x軸于點F（x2，0），

則∠FAA1=∠CBD，

于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，

所以=，即=，

過點E作EG⊥AA1于點G，

易得△AEG∽△BCD．

有=，即=，

∵點A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在拋物線y=ax2+bx+c上，

得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，

∴==1﹣x1，

化簡，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），

∵y0≥0恒成立，根據題意，有x2≤x1＜﹣1，

則1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3，

∴≥3，

∴的最小值為3．

故選D.