Question

在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一個角度α（α＜360°）后，能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，α為這個旋轉對稱圖形的一個旋轉角．例如，正方形繞著它的對角線交點旋轉90°、180°、270°都能與自身重合，所以正方形是旋轉對稱圖形，90°、180°、270°都可以是這個旋轉對稱圖形的一個旋轉角．請依據上述規定解答下列問題：
（1）判斷下列命題的真假：
①等腰梯形是旋轉對稱圖形．
②平行四邊形是旋轉對稱圖形．
（2）下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是120°的是______（寫出所有正確結論前的序號）．
①等邊三角形      ②有一個角是60°的菱形      ③正六邊形      ④正八邊形
（3）正五邊形顯然滿足下面兩個條件：
①是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是72°．
②是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．
思考：還有什么圖形也同時滿足上述兩個條件？請說出一種．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉對稱圖形和中心對稱圖形的定義即可解答；
（2）分別求出各圖形旋轉的角度得出答案即可；
（3）利用①是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是72°，②是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，得出邊數為奇數且中心角能整除72°，得出答案即可．
解答：解：（1）等腰梯形必須旋轉360°才能與自身重合；平行四邊形旋轉180°可以與自身重合．
①等腰梯形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為180度．（假命題）
②平行四邊形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為180°．（真命題）
                         
（2）①只要旋轉120°的倍數即可；
②只要旋轉90°的倍數即可；
③只要旋轉60°的倍數即可；
④只要旋轉45°的倍數即可．
故是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為120°的是①、③．
故答案為：①，③；

（3）360°÷72°=5．
是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形：如正十五邊形．
點評：此題主要考查了旋轉圖形的性質，根據定義，得一個正n邊形只要旋轉的倍數角即可．
奇數邊的正多邊形只是軸對稱圖形，偶數邊的正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．