Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊的中點，過D作DE⊥BC于點E，點P是邊BC上的一個動點，AP與CD相交于點Q．當AP+PD的值最小時，AQ與PQ之間的數量關系是（ ）

A.AQ= PQ
B.AQ=3PQ
C.AQ= PQ
D.AQ=4PQ

Answer 1

【答案】B
【解析】如圖，作點A關于BC的對稱點A′，連接A′D交BC于點P，此時PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N．

∵∠ACB=∠DEB=90°，

∴DE∥AC，

∵AD=DB，

∴CE=EB，

∴DE= AC= CA′，

∵DE∥CA′，

∴ = = ，

∵DM∥BC，AD=DB，

∴AM=MC，AN=NP，

∴DM= BC=CE=EB，MN= PC，

∴MN=PE，ND=PC，

在△DNQ和△CPQ中，

，

∴△DNQ≌△CPQ，

∴NQ=PQ，

∵AN=NP，

∴AQ=3PQ．

所以答案是：B．

【考點精析】掌握軸對稱-最短路線問題是解答本題的根本，需要知道已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．