Question

正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（3）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時x的值．

Answer 1

分析：（1）要證三角形ABM和MCN相似，就需找出兩組對應相等的角，已知了這兩個三角形中一組對應角為直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此這兩個角也相等，據此可得出兩三角形相似．
（2）根據（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例關系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的長表示出CM，然后根據比例關系式求出CN的表達式．這樣直角梯形的上下底和高都已得出，可根據梯形的面積公式得出關于y，x的函數關系式．然后可根據函數的性質得出y的最大值即四邊形ABCN的面積的最大值，以及此時對應的x的值，也就可得出BM的長．
（3）已知了這兩個三角形中相等的對應角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么兩組直角邊就應該對應成比例，即

AM

MN

=

AB

BM

，根據（1）的相似三角形可得出

AM

MN

=

AB

MC

，因此BM=MC，M是BC的中點．即x=2．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．

（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，即

4

4-x

=

x

CN

，
∴CN=

-x2+4x

4

，
∴y=S_梯形ABCN=

1

2

（

-x2+4x

4

+4）•4
=-

1

2

x²+2x+8
=-

1

2

（x-2）²+10，
∴當點M運動到離B點的長度為2時，y取最大值，最大值為10．

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必須有

AB

AM

=

BM

MN

，
由（1）知

AM

MN

=

AB

MC

，
∴

AB

BM

=

AB

MC

，
∴BM=MC，
∴當點M運動到BC的中點時，△ABM∽△AMN，此時x=2．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用，根據相似三角形得出與所求的條件相關的線段成比例是解題的關鍵．