Question

直線AB平行于x軸，與y軸交于點A（0，a），AB=a，經過原點的拋物線y=-x²+bx經過點B，且與直線AB交于另一點C（在B的左邊），拋物線的頂點為P．
（1）求拋物線的解析式（用含a的代數式表示）；
（2）用含a的式子表示BC的長；
（3）當a為何值時，△PCB是等腰直角三角形？當a為何值時△PCB是等邊三角形？

Answer 1

分析：（1）先用a表示B點坐標，然后把B點坐標代入拋物線y=-x²+bx，則可用a表示出b；
（2）令y=a，代入（1）中求出的解析式，解方程可得到C點坐標，然后用B點的橫坐標減去C點的橫坐標即可得到BC的長；
（3）先根據拋物線的頂點公式得到頂點P的坐標，用a表示出AD；當△PCB是等腰直角三角形，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PD=

1

2

BC；當△PCB是等邊三角形，根據等邊三角形的高等于邊長的

3

2

倍得到PD=

3

2

BC，這樣得到關于a的兩個方程，分別解方程即可得到a的值．

解答：解：（1）∵A（0，a），AB=a，
∴B點坐標為（a，a），
把B（a，a）代入y=-x²+bx得，a=-a²+ba，
∴b=a+1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+（a+1）x；

（2）C點的縱坐標為a，令y=a，則a=-x²+（a+1）x，解得x₁=1，x₂=a，
∴C點坐標為（1，a），
∴BC的長=a-1；

（3）設拋物線的對稱軸交AB于D，連PB，PC，如圖，
拋物線的解析式為y=-x²+（a+1）x的頂點P的坐標為（

a+1

2

，

(a+1)2

4

），
∴PD=

(a+1)2

4

-a=

(a-1)2

4

，
而BC=a-1，并且PC=PB，
當△PCB是等腰直角三角形，
∴PD=

1

2

BC，即

(a-1)2

4

=

1

2

（a-1），解得a=3；
當△PCB是等邊三角形，
∴PD=

3

2

BC，即

(a-1)2

4

=

3

2

（a-1），解得a=2

3

+1，
所以當a=3時，△PCB是等腰直角三角形；當a=2

3

+1時△PCB是等邊三角形．

點評：本題考查了點在二次函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式以及二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．也考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質．