Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，E為BC的中點，連接DE并延長交AC的延長線于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6．

【解析】

試題分析：（1）連接OD、CD，由AC為⊙O的直徑知△BCD是直角三角形，結合E為BC的中點知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；

（2）設⊙O的半徑為r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．

試題解析：（1）如圖，連接OD、CD．∵AC為⊙O的直徑，∴△BCD是直角三角形，∵E為BC的中點，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直徑為6．