Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，點D是⊙O 上一點，⊙O的切線CB與AD的延長線交于點B，點F是直徑AC上一點，連接DF并延長交⊙O于點E，連接AE．

（1）求證：∠ABC=∠AED；

（2）連接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）直接利用圓周角定理以及切線的性質定理得出∠ACD=∠ABC，進而得出答案；

（2）首先得出DC的長，即可得出FC的長，再利用已知得出BC的長，結合勾股定理求出答案．

（1）證明：連接DC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴∠ABC+∠BCD=90°，

∵⊙O的切線CB與AD的延長線交于點B，

∴∠BCA=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠ABC，

∴∠ABC=∠AED；

（2）解：連接BF，

∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，

∴tan∠ACD==，

∴DC=AD=，

∴AC==8，

∵AF=6，

∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，

∵∠ABC=∠AED，

∴tan∠ABC==，

∴ =，

解得：BD=，

故BC=6，

則BF==2．