Question

如圖1,在平面直角坐標系中,以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為－1,直線l y=－X－與坐標軸分別交于A,C兩點,點B的坐標為(4,1) ,⊙B與X軸相切于點M. 

(1)  求點A的坐標及∠CAO的度數;       

(2) ⊙B以每秒1個單位長度的速度沿X軸負方向平移,同時,直線l繞點A順時針勻速旋轉.當⊙B第一次與⊙O相切時,直線l也恰好與⊙B第一次相切.問:直線AC繞點A每秒旋轉多少度?

(3)如圖2.過A,O,C三點作⊙O₁,點E是劣弧上一點,連接EC,EA.EO,當點E在劣弧上運動時(不與A,O兩點重合),的值是否發生變化?如果不變,求其值,如果變化,說明理由.                                                    

.                       

 

 

【解析】（1）已知點A，C的坐標，故可推出OA=OC，最后可得∠CAO=45°．

（2）依題意，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，連接B₁O，B₁N，則MN=3．連接B₁A，B₁P可推出∠PAB₁=∠NAB₁．又因為OA=OB₁=，故∠AB₁O=∠NAB₁，∠PAB₁=∠AB₁O繼而推出PA∥B₁O．然后在Rt△NOB₁中∠B₁ON=45°，∴∠PAN=45°得出∠1=90°．然后可得直線AC繞點A平均每秒30度．

（3）在CE上截取CK=EA，連接OK，證明△OAE≌△OCK推出OE=OK，∠EOA=∠KOC，∠EOK=∠AOC=90°．最后可證明

 

Answer 1

解：（1）、A（－，0）

∵C（0，－），∴OA=OC。

∵OA⊥OC   ∴∠CAO=45^{0----------------------------4分}

（2）如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時，直線l旋轉到l^’恰好與⊙B₁第一次相切于點P, ⊙B₁與X軸相切于點N,

連接B₁O,B₁N,則MN=t, OB₁=  B₁N⊥AN  ∴MN=3  即t=3-------------2分

連接B₁A, B₁P 則B₁P⊥AP   B₁P = B₁N  ∴∠PA B₁=∠NAB₁

∵OA= OB₁=   ∴∠A B₁O=∠NAB₁  ∴∠PA B₁=∠A B₁O   ∴PA∥B₁O

在Rt⊿NOB₁中,∠B₁ON=45⁰,  ∴∠PAN=45⁰,  ∴∠1=90⁰.

∴直線AC繞點A平均每秒30⁰.------------------------------------4分

(3). 的值不變,等于,如圖在CE上截取CK=EA,連接OK,

∵∠OAE=∠OCK,  OA=OC  ∴⊿OAE≌⊿OCK, 

∴OE=OK  ∠EOA=∠KOC   ∴∠EOK=∠AOC= 90⁰.

∴EK=EO  ,                   

l’

 ∴=----------------------------------------------4分