Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3經過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，其頂點為D，連接AD，點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合）．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如圖1，過點P作PE⊥y軸于點E．求△PAE面積S的最大值；

（3）如圖2，拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形？若存在求出Q點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點D的坐標為（﹣1，4）；（2）△PAE面積S的最大值是；（3）點Q的坐標為（﹣2+，2﹣4）．

【解析】

（1）根據拋物線y＝ax2+bx+3經過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，可以求得該拋物線的解析式，然后將函數解析式化為頂點式，從而可以得到該拋物線的頂點坐標，即點D的坐標；

（2）根據題意和點A和點D的坐標可以得到直線AD的函數解析式，從而可以設出點P的坐標，然后根據圖形可以得到△APE的面積，然后根據二次函數的性質即可得到△PAE面積S的最大值；

（3）根據題意可知存在點Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形，然后根據函數解析式和平行四邊形的性質可以求得點Q的坐標．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經過A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，

∴ ，得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，4），

即該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點D的坐標為（﹣1，4）；

（2）設直線AD的函數解析式為y＝kx+m，

，得，

∴直線AD的函數解析式為y＝2x+6，

∵點P是線段AD上一個動點（不與A、D重合），

∴設點P的坐標為（p，2p+6），

∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，

∵﹣3＜p＜﹣1，

∴當p＝﹣時，S△PAE取得最大值，此時S△PAE＝，

即△PAE面積S的最大值是；

（3）拋物線上存在一點Q，使得四邊形OAPQ為平行四邊形，

∵四邊形OAPQ為平行四邊形，點Q在拋物線上，

∴OA＝PQ，

∵點A（﹣3，0），

∴OA＝3，

∴PQ＝3，

∵直線AD為y＝2x+6，點P在線段AD上，點Q在拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上，

∴設點P的坐標為（p，2p+6），點Q（q，﹣q2﹣2q+3），

∴，

解得，或（舍去），

當q＝﹣2+時，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，

即點Q的坐標為（﹣2+，2﹣4）．