Question

已知，如圖，直線y=

3

3

x+

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，⊙M經過原點O及A、B兩點．
（1）求以OA、OB兩線段長為根的一元二方程；
（2）C是⊙M上一點，連接BC交OA于點D，若∠COD=∠CBO，寫出經過O、C、A三點的二次函數的解析式；
（3）若延長BC到E，使DE=2，連接EA，試判斷直線EA與⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題的關鍵是求出OA，OB的長，可根據過A，B兩點的直線解析式來得出A，B兩點的坐標，即可得出OA，OB的長．進而可根據韋達定理得出所求的一元二次方程．
（2）本題要先求出C點的坐標，已知∠COD=∠CBO，那么C是弧OA的中點，連接MC，可根據垂徑定理求出C點的坐標．而后根據O，A，C三點的坐標即可得出拋物線的解析式．
（3）本題只需證EA⊥AB即可．在直角三角形OBD中，可求得∠BDO=60°，而AD=DE=2，由此可得出三角形ADE是等邊三角形，因此∠DAE=60°，而∠BAO=30°，由此可得出∠BAE=90°，即可得證．

解答：解：（1）∵直線y=

3

3

x+

3

與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-3，0），B（0，

3

）
∴OA=3，OB=

3

．
以OA，OB兩線段長為根的一元二次方程是：x²-（

3

+3）x+3

3

=0．

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA
∴∠CBA=∠CBO
∴弧AC=弧OC
∵∠AOB=90°
∴AB為⊙M的直徑．
連接MC交OA于點G．
∴MC⊥OA．
∴OG=AG=

1

2

OA=

3

2

．
根據勾股定理得：MG=

AM2-AG2

=

3

2

，
∴MC=

1

2

AB=

1

2

OB2+OA2

=

1

2

( 3 )2+32

=

3

∴CG=MC-MG=

3

-

3

2

=

3

2

．
∴C（-

3

2

，-

3

2

）．
設經過O，C，A三點的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，依題意可得：

c=0 9 4 a- 3 2 b+c=- 3 2 9a-3b+c=0

，
解得：

a= 2 9 3 b= 2 3 3 c=0

，
因此拋物線的解析式為y=

2 3

9

x²+

2 3

3

x．

（3）直線EA與⊙M相切，理由如下：
在直角三角形OAB中，
∵OB=

3

，OA=3；
∴tan∠OAB=

3

3

，
∴∠OAB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵∠COD=∠CBO，∠OCD=∠BCO，
∴△OCD∽△BCO，
∴∠CDO=∠BOC，又∠CDO=∠ADB，
∴∠ADB=∠COB，又∠BAD=∠BCO，
∴△ADB∽△COB，
∴∠ABD=∠CBO=

1

2

∠ABO，
∴∠OBC=30°．
∴∠ADE=∠BDO=60°．
在直角三角形BOD中，OD=OB•tan30°=

3

×

3

3

=1．
∴AD=2，又DE=2
∴△ADE為等邊三角形．
∴∠OAE=60°
∴∠BAE=30°+60°=90°
∴直線EA與⊙M相切．

點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，二次函數解析式的確定、垂徑定理等知識點．考查學生綜合應用知識、解決問題的能力．