Question

如圖，已知二次函數的圖象經過點A（6，0）、B（-2，0）和點C（0，-8）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）設該二次函數圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為______；
（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發t秒時，△OPQ的面積為S．
①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設S₀是②中函數S的最大值，直接寫出S₀的值．

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=a（x+2）（x-6）
∵圖象過點（0，-8）
∴a=
∴二次函數的解析式為y=x²-x-8；

（2）∵y=x²-x-8=（x²-4x+4-4）-8=（x-2）²-
∴點M的坐標為（2，-）
∵點C的坐標為（0，-8），
∴點C關于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8）
∴直線C′M的解析式為：y=-x+8
令y=0
得-x+8=0
解得：x=
∴點K的坐標為（，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，
此時，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6-3t
AQ=18-8t，
∴

∴t=
∵t=＞2不滿足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
②分情況討論如下，
情況1：0≤t≤1
S=OP•OQ=×3t×8t=12t²；
情況2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足為E，
S=OP•EQ=×3t×=-+
情況3：2＜t＜
作OF⊥AC，垂足為F，則OF=
S=QP•OF=×（24-11t）×=-+；
③當0≤t≤1時，S=12t²，函數的最大值是12；
當1＜t≤2時，S=-+，函數的最大值是；
當2＜t＜，S=QP•OF=-+，函數的最大值為；
∴S₀的值為．

分析：（1）根據已知的與x軸的兩個交點坐標和經過的一點利用交點式求二次函數的解析式即可；
（2）首先根據上題求得的函數的解析式確定頂點坐標，然后求得點C關于x軸的對稱點的坐標C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標即可；
（3）（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區間t的取值范圍，然后根據平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
②本題要分三種情況進行討論：
當E在OC上，D在OA上，即當0≤t≤1時，此時S=OE•OD，由此可得出關于S，t的函數關系式；
當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數關系式；
當E，D都在CA上時，即當2＜t＜相遇時用的時間，此時S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數關系式；
綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數的不同表達式．
③根據②的函數即可得出S的最大值．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．