Question

【題目】如圖，已知拋物線y = x2 + bx + c的圖象經過點A（l ，0） ，B（﹣3 ，0） ，與y軸交于點C ，拋物線的頂點為D ，對稱軸與x軸相交于點E ，連接BD ．

（1）求拋物線的解析式 ．

（2）若點P在直線BD上，當PE = PC時，求點P的坐標 ．

（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F ，點M為x軸上一動點 ，N為直線PF上一動點 ，G為拋物線上一動點，當以點F ，N ，G ，M 四點為頂點的四邊形為正方形時，求點M的坐標 ．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）（﹣2，﹣2）（3）（ ，0），（，0）

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法即可得出結論；

（2）先確定出點E的坐標，利用待定系數法得出直線BD的解析式，利用PC=PE建立方程即可求出a即可得出結論；

（3）設出點D的坐標，進而得出點G，N的坐標，利用FM=MG建立方程求解即可得出結論．

試題解析：解：（1）∵拋物線的圖象經過點A（1，0），B（﹣3，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為，∴C（0，﹣3），拋物線的頂點D（﹣1，﹣4），∴E（﹣1，0），設直線BD的解析式為y=mx+n，∴，∴，∴直線BD的解析式為y=﹣2x﹣6，設點P（a，﹣2a﹣6），∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），根據勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∵PC=PE，∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P（﹣2，﹣2）；

（3）如圖，作PF⊥x軸于F，∴F（﹣2，0），設D（d，0），∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），∵以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形，必有FM=MG，∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，∴d=或d=，∴點M的坐標為（，0），（，0），（，0），（，0）．