Question

【題目】如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】﹣2＜k＜
【解析】解：由圖可知，∠AOB=45°， ∴直線OA的解析式為y=x，
聯立 消掉y得，
x2﹣2x+2k=0，
△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，
即k= 時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標為1，
∵點B的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∴點A的坐標為（ ， ），
∴交點在線段AO上；
當拋物線經過點B（2，0）時， ×4+k=0，
解得k=﹣2，
∴要使拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數k的取值范圍是﹣2＜k＜ ．
故答案為：﹣2＜k＜ ．
根據∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．