Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上任意一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．

（1）如圖1，當E是線段AC的中點，且AB=2時，求△ABC的面積；

（2）如圖2，當點E不是線段AC的中點時，求證：BE=EF；

（3）如圖3，當點E是線段AC延長線上的任意一點時，（2）中的結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△ABC的面積=；（2）見解析；（3）成立，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據菱形的性質證明△ABC是等邊三角形和AB=2，求出△ABC的面積；

（2）作EG∥BC交AB于G，證明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；

（3）作EH∥BC交AB的延長線于H，證明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，又E是線段AC的中點，

∴BE⊥AC，AE=AB=1，

∴BE=，

∴△ABC的面積=×AC×BE=；

（2）如圖2，作EG∥BC交AB于G，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AGE是等邊三角形，

∴BG=CE，

∵EG∥BC，∠ABC=60°，

∴∠BGE=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ECF=120°，

∴∠BGE=∠ECF，

在△BGE和△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF，

∴EB=EF；

（3）成立，

如圖3，作EH∥BC交AB的延長線于H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴△AHE是等邊三角形，

∴BH=CE，

在△BHE和△ECF中，

，

∴△BHE≌△ECF，

∴EB=EF．