Question

【題目】將兩塊斜邊長相等的等腰直角三角板按如圖①擺放，斜邊AB分別交CD，CE于M，N點．

(1)如果把圖①中的△BCN繞點C逆時針旋轉90°得到△ACF，連接FM，如圖②，求證：△CMF≌△CMN；

(2)將△CED繞點C旋轉，則：

①當點M，N在AB上(不與點A，B重合)時，線段AM，MN，NB之間有一個不變的關系式，請你寫出這個關系式，并說明理由；

②當點M在AB上，點N在AB的延長線上(如圖③)時，①中的關系式是否仍然成立？

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②仍然成立．

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得CF=CN，∠ACF=∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN=45°，從而求出∠MCF=45°，然后利用“邊角邊”證明△CMF和△CMN全等即可；

（2）①根據全等三角形對應邊相等可得FM=MN，再根據旋轉的性質可得AF=BN，∠CAF=∠B=45°，從而求出∠BAF=90°，再利用勾股定理列式即可得解；

②把△BCN繞點C逆時針旋轉90°得到△ACF，根據旋轉的性質可得AF=BNCF=CN，∠BCN=∠ACF，再求出∠MCF=∠MCN，然后利用“邊角邊”證明△CMF和△CMN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MF=MN，然后利用勾股定理列式即可得解．

（1）∵△BCN繞點C逆時針旋轉90°得到△ACF，

∴CF=CN，∠ACF=∠BCN，

∵∠DCE=45°，

∴∠ACM+∠BCN=45°，

∴∠ACM+∠ACF=45°，

即∠MCF=45°，

∴∠MCF=∠MCN，

在△CMF和△CMN中，

，

∴△CMF≌△CMN（SAS）；

（2）①∵△CMF≌△CMN，

∴FM=MN，

又∵∠CAF=∠B=45°，

∴∠FAM=∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°，

∴AM2+AF2=FM2，

∴AM2+BN2=MN2；

②如圖，把△BCN繞點C逆時針旋轉90°得到△ACF，

則AF=BN，CF=CN，∠BCN=∠ACF，

∵∠MCF=∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-（45°-∠BCN）-∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°，

∴∠MCF=∠MCN，

在△CMF和△CMN中，

，

∴△CMF≌△CMN（SAS），

∴FM=MN，

∵∠ABC=45°，

∴∠CAF=∠CBN=135°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠FAM=∠CAF-∠BAC=135°-45°=90°，

∴AM2+AF2=FM2，

∴AM2+BN2=MN2．