Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），．

（1）求過點(diǎn)A、B的直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如P、Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADB相似？如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為y=x+；（2）符合條件的D（，0）；（3）符合要求的m的值為 或.

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AC的長度再根據(jù)求出BC的長度 然后即可寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)A,B的直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ kx＋b，利用待定系數(shù)法求解即可得到直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)B作BD⊥AB,交x軸于點(diǎn)D,D點(diǎn)為所求，繼而求出D點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的值，當(dāng)PQ// BD時(shí)，△APQ~△ABD ,解得m的值 ;當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，△APQ ~△ADB ,則解得m 的值.

（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC=4，

∵BC=AC，

∴BC=×4=3，

∴B（1，3），

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=x+；

（2）若△ADB與△ABC相似，

過點(diǎn)B作BD⊥AB交x軸于D，∴∠ABD=∠ACB=90°，如圖1，

此時(shí) =，即AB2=ACAD．

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴25=4AD，

∴AD=，

∴OD=AD﹣AO=﹣3=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ，0）．

即：符合條件的D（ ，0）．

（3）∵AP=DQ=m，

∴AQ=AD﹣QD=﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如圖2，

則有 =，

∴APAD=ABAQ，

∴m=5（ ﹣m），

解得m=；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如圖3，

則有 =，

∴APAB=ADAQ，

∴5m=（ ﹣m），

解得：m=，

綜上所述：符合要求的m的值為 或 ．