Question

對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為<x>，即當n為非負整數時，若，則<x>＝n，如<0.46>=0，<3.67>=4。給出下列關于<x>的結論：
①<1.493>=1；
②<2x>=2<x>；
③若，則實數x的取值范圍是；
④當x≥0，m為非負整數時，有；
⑤。
其中，正確的結論有   　（填寫所有正確的序號）。

Answer 1

①③④。

①根據定義，∵，∴<1.493>=1。結論正確。
②用特例反證：∵<1.3>=1，<2×1.3>=<2.6>=3，∴<2×1.3>≠2<1.3>。
∴<2x>=2<x>不一定成立。結論錯誤。
③若，則。
∴實數x的取值范圍是。結論正確。
④設2013x＝k＋b，k為2013x的整數部分，b為其小數部分，
1）當0≤b＜時，<2013x>＝k，
m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k為m＋2013x的整數部分，b為其小數部分，< m＋2013x>＝m＋k，
∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>。
2）當b≥時，<2013x>＝k＋1，
則m＋2013x＝(m＋k)＋b，m＋k為m＋2013x的整數部分，b為其小數部分，< m＋2013x >＝m＋k＋1，
∴< m＋2013x >＝m＋<2013x>
綜上：當x≥0，m為非負整數時，< m＋2013x >＝m＋<2013x>成立。結論正確。
⑤用特例反證：：<0.6>＋<0.7>＝1＋1＝2，而<0.6＋0.7>＝<1.3>＝1，
∴<0.6>＋<0.7>≠<0.6＋0.7>�！�不一定成立。結論錯誤。
綜上所述，正確的結論有①③④。