Question

（本小題滿分14分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC="10." 點(diǎn)
E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分？若存在，求出此時(shí)BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）∵EF平分等腰梯形ABCD的周長，
∴BF=12－x，  FG =
∴ ………5分
（2）∵
∴當(dāng)，=" 14 " 解得 
∵當(dāng)時(shí)，BF=12－x =7＞AB，不合題意。
∴當(dāng)BE=7時(shí)，線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)平分。………5分（3）當(dāng)線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分時(shí)，
①若BE+BF=8，則FG =，有
這個(gè)方程無實(shí)數(shù)解；
②若BE+BF=16，而BC+AB=15，這種情況是不可能的；
∴不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時(shí)分成1∶2的兩部分。…………4分

解析