Question

【題目】如圖①，點O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如圖①，若∠AOC=40°，求∠DOE的度數；

(2)如圖①，若∠AOC=α，直接寫出∠DOE的度數（用含α的代數式表示）

(3)將圖①中的∠COD繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置，OE平分∠BOC．

①探究∠AOC和∠DOE的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；

②在∠AOC的內部有一條射線OF，且∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE，試確定∠AOF與∠DOE的度數之間的關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）∠DOE=；（3）①∠DOE=∠AOC，理由見解析；②4∠EOD﹣3∠AOF=180°，理由見解析.

【解析】

首先求得∠COB的度數，然后根據角平分線的定義求得∠COE的度數，再根據∠DOE=∠COD-∠COE即可求解；

解法與（1）相同，把①中的60°改成α即可；

①把∠AOC的度數作為已知量，求得∠BOC的度數，然后根據角的平分線的定義求得∠COE的度數，再根據∠DOE=∠COD-∠COE求得∠DOE，即可解決；

②由∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE， OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的關系，可以建立各個角之間的關系，從而可以得到∠AOF與∠DOE的度數之間的關系．

（1）∵∠AOC=40°

∴∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣40°=140°

∵OE平分∠COB

∴∠COE=∠COB=70°，

又∵∠COD=90°

∴∠EOD=∠COD﹣∠COE=20°

（2）∠DOE=，

（3）①∠DOE=∠AOC，理由如下：

∵OE平分∠COB

∴∠COE=∠COB

又∵∠COD=90°

∴∠EOD=∠COD﹣∠COE=90°﹣∠COB，

∵∠COB+∠AOC=180°

∴∠COB=180°﹣∠AOC

∴∠EOD=90°﹣（180°﹣∠AOC）=∠AOC

②4∠EOD﹣3∠AOF=180°，理由如下：

∵OE平分∠COB

∴∠EOB=∠COE

∴∠AOC﹣2∠BOE=∠AOC﹣2∠COE

=∠AOC﹣2（90°﹣∠EOD）

=∠AOC+2∠EOD﹣180°

又∵∠DOE=∠AOC

∴∠AOC﹣2∠BOE=4∠EOD﹣180°

∵∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE

∴4∠EOD﹣3∠AOF=180°