Question

如圖1，在正方形ABCD中，∠ECF的兩邊分別交邊AB、AD于點E、F，且∠ECF=45°．

（1）①求證：BE+DF=EF；
②運用①的結論解決下面問題：如圖2，在直角梯形ABCF中，AF∥BC（BC＞AF），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點，且∠FCE=45°，BE=1.5，EF=2.5，求梯形ABCF的面積；
（2）在圖1中，對角線AC、BD相交于點O，BD與CF分別交于點N，連接EN得到圖3．當∠ECF繞點C旋轉時，△ECN是什么特殊的三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①把△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△CDG，根據旋轉的性質可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，然后求出∠FCG=45°，從而得到∠ECF=∠FCG，再利用“邊角邊”證明△ECF和△GCF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，再求出GF=BE+DF即可得證；
②設正方形ABCD的邊長為x，表示出AE，再根據①的結論表示出AF，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可得到x的值，再求出AF，然后利用梯形的面積公式列式計算即可得解；
（2）根據正方形的對角線平分一組對角可得∠EBN=∠CBD=45°，然后求出B、C、E、N四點共圓，再根據同弧所對的圓周角相等可得∠CEN=∠CBD=45°，根據三角形內角和定理求出∠CNE=90°，從而得到△ECN是等腰直角三角形．

解答：（1）①證明：如圖，把△BCE繞點C順時針旋轉90°得到△CDG，
由旋轉的性質可得BE=DG，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=∠FCD+∠BCE=∠BCD-∠ECF=90°-45°=45°，
∴∠ECF=∠FCG，
在△ECF和△GCF中，

CE=CG ∠ECF=∠FCG CF=CF

，
∴△ECF≌△GCF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF；

②解：設正方形ABCD的邊長為x，
∵BE=1.5，
∴AE=x-1.5，
∵EF=2.5，
∴AF=x-（EF-BE）=x-（2.5-1.5）=x-1，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即（x-1.5）²+（x-1）²=2.5²，
整理得，2x²-5x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-

1

2

（舍去），
所以，AF=3-1=2，
梯形ABCF的面積=

1

2

×（2+3）×3=

15

2

；

（2）△ECN是等腰直角三角形．
理由如下：在正方形ABCD中，∠EBN=∠CBD=45°，
又∵∠ECF=45°，
∴∠ECN=∠ECF，
∴B、C、E、N四點共圓，
∴∠CEN=∠CBD=45°，
∴∠CEN=∠ECN=45°，
在△CEN中，∠CNE=180°-∠CEN-∠ECN=180°-45°-45°=90°，
∴△ECN是等腰直角三角形．

點評：本題是四邊形綜合題型，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，（2）利用四點共圓求解更加簡便．