Question

【題目】已知：關于x的方程

（1）求證：m取任何值時，方程總有實根．

（2）若二次函數的圖像關于y軸對稱.

a、求二次函數的解析式

b、已知一次函數，證明：在實數范圍內，對于同一x值，這兩個函數所對應的函數值均成立.

(3)在（2）的條件下，若二次函數的象經過（-5,0），且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值均成立，求二次函數的解析式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）a、y1=x2-1；b、證明見解析；（3）.

【解析】

（1）首先此題的方程并沒有明確是一次方程還是二次方程，所以要分類討論：

①m=0，此時方程為一元一次方程，經計算可知一定有實數根；

②m≠0，此時方程為二元一次方程，可表示出方程的根的判別式，然后結合非負數的性質進行證明．

（2）①由于拋物線的圖象關于y軸對稱，那么拋物線的一次項系數必為0，可據此求出m的值，從而確定函數的解析式；

②此題可用作差法求解，令y1-y2，然后綜合運用完全平方式和非負數的性質進行證明．

（3）根據②的結論，易知y1、y2的交點為（1，0），由于y1≥y3≥y2成立，即三個函數都交于（1，0），結合點（-5，0）的坐標，可用a表示出y3的函數解析式；已知y3≥y2，可用作差法求解，令y=y3-y2，可得到y的表達式，由于y3≥y2，所以y≥0，可據此求出a的值，即可得到拋物線的解析式．

解：（1）分兩種情況：

當m=0時，原方程可化為3x-3=0，即x=1； ∴m=0時，原方程有實數根；

當m≠0時，原方程為關于x的一元二次方程，

∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0，

∴方程有兩個實數根；

綜上可知：m取任何實數時，方程總有實數根；

（2）①∵關于x的二次函數y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關于y軸對稱；

∴3（m-1）=0，即m=1；

∴拋物線的解析式為：y1=x2-1；

②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0，

∴y1≥y2（當且僅當x=1時，等號成立）；

（3）由②知，當x=1時，y1=y2=0，即y1、y2的圖象都經過（1，0）；

∵對應x的同一個值，y1≥y3≥y2成立，

∴y3=ax2+bx+c的圖象必經過（1，0），

又∵y3=ax2+bx+c經過（-5，0），

∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a；

設y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）；

對于x的同一個值，這三個函數對應的函數值y1≥y3≥y2成立，

∴y3-y2≥0，

∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0；

根據y1、y2的圖象知：a＞0，

∴y最小=≥0

∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0， ∴（3a-1）2≤0，

而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a= ，

∴拋物線的解析式為：