Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：；

（3）若，，求線段DP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）15

【解析】

（1）先判斷出∠BAC=2∠BAD，進而判斷出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出結論；

（2）先判斷出∠ADB=∠P，再判斷出∠DCP=∠ABD，即可證明△ABD∽△DCP，進一步可得出結論；

（3）首先求出BC=10，從而得出OD=5，作CG⊥DP，則可得四邊形ODGC是正方形，故可得CG=5，由可求出GP=，從而可得結論.

（1）如圖，連接OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=∠BAC=90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP=∠BOD=90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半徑，

∴PD是⊙O的切線；

（2）∵PD∥BC，

∴∠ACB=∠P，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠P，

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，

∴∠DCP=∠ABD，

∴△ABD∽△DCP，

∴

∴ABCP=BDCD．

（3）在中，∵，，

∴，

∴，

∴，

過點作，垂足為，則四邊形為正方形，

∴，

∵，

∴，

，

∴，即，

解得，，

∴．