Question

（本小題滿分12分）

如圖16，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，點M是BC的中點．點P從點M出發沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動．在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側．點P，Q同時出發，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止．

設點P，Q運動的時間是t秒(t＞0)．

（1）設PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數關系式（不必寫t的取值范圍）．

（2）當BP = 1時，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．

（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）y = 2t

（2）

（3）能．4≤t≤5

解析:解：（1）y = 2t；

（2）當BP = 1時，有兩種情形：

①如圖6，若點P從點M向點B運動，有 MB = = 4，MP = MQ = 3，

∴PQ = 6．連接EM，

∵△EPQ是等邊三角形，∴EM⊥PQ．∴．

∵AB = ，∴點E在AD上．

∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為．

②若點P從點B向點M運動，由題意得 ．

PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．設PE與AD交于點F，QE與AD或AD的

延長線交于點G，過點P作PH⊥AD于點H，則

HP = ，AH = 1．在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，

∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2，

∴點G與點D重合，如圖7．此時△EPQ與梯形ABCD 的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為．

（3）能．4≤t≤5．