Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x﹣4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點（端點除外），過P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．

（1）直接寫出A、B、C的坐標；

（2）求拋物線y=﹣x﹣4的對稱軸和頂點坐標；

（3）求△PCD面積的最大值，并判斷當△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．（2）（1，﹣）（3）不是菱形

【解析】試題分析：（1）設y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標，設x=0，則可求出C的坐標．

（2）拋物線：y=x2-x-4=（x-1）2-，所以拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是（1，-）．

（3）設P（x，0）（-2＜x＜4），由PD∥AC，可得到關于PD的比例式，由此得到PD和x的關系，再求出C到PD的距離（即P到AC的距離），利用三角形的面積公式可得到S和x的函數關系，利用函數的性質即可求出三角形面積的最大值，進而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．

試題解析：（1）A（4，0）、B（-2，0）、C（0，-4）．

（2）拋物線：y=x2-x-4=（x-1）2-，

∴拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是（1，-）．

（3）設P（x，0）（-2＜x＜4），

∵PD∥AC，

∴，

解得：PD=（x+2），

∵C到PD的距離（即P到AC的距離）：d=PA×sin450=（4-x），

∴△PCD的面積S=×PD×d=（x+2）（4-x）="-"x2+x+，

∴S=-（x-1）2+3，

∴△PCD面積的最大值為3，

當△PCD的面積取最大值時，x=1，PA=4-x=3，PD=（x+2）=2，

因為PA≠PD，所以以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．