Question

【題目】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點按如圖所示的方式疊放在一起（其中，，），固定三角板，另一三角板的邊從邊開始繞點順時針旋轉，設旋轉的角度為．

（1）當時；

①若，則的度數為 ；

②若，求的度數；

（2）由（1）猜想與的數量關系，并說明理由；

（3）當時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相垂直？若存在，請直接寫出所有可能的值，并指出哪兩邊互相垂直（不必說明理由）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①150°；②50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見詳解；（3）當=30°時，AD⊥CE，當=90°時，AC⊥CE，當=75°時，AD⊥BE，當=45°時，CD⊥BE．

【解析】

（1）①先根據直角三角板的性質求出∠DCB的度數，進而可得出∠ACB的度數；②由∠ACB=130°，∠ACD=90°，可得出∠DCB的度數，進而得出∠DCE的度數；
（2）根據（1）中的結論可提出猜想，再分3種情況：①當時，②當時，③當時，分別證明∠ACB與∠DCE的數量關系，即可；
（3）分4種情況：①若AD⊥CE時，②若AC⊥CE時， ③若AD⊥BE時，④若CD⊥BE時，分別求出的值，即可．

（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，

∴∠DCB=90°30°=60°，

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，

故答案是150°；

②∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，

∴∠DCB=130°90°=40°，

∴∠DCE=90°40°=50°；

（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：

①當時，如圖1，

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，

∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；

②當時，如圖2，∠ACB+∠DCE=180°，顯然成立；
③當時，如圖3，∠ACB+∠DCE=360°-90°-90°=180°．

綜上所述：∠ACB+∠DCE=180°；

(3)存在，理由如下：

①若AD⊥CE時，如圖4，則=90°-∠A=90°-60°=30°，

②若AC⊥CE時，如圖5，則=∠ACE=90°，

③若AD⊥BE時，如圖6，則∠EMC=90°+30°=120°，

∵∠E=45°，

∴∠ECD=180°-45°-120°=15°，

∴=90°-15°=75°，

④若CD⊥BE時，如圖7，則AC∥BE，

∴=∠E=45°．

綜上所述：當=30°時，AD⊥CE，當=90°時，AC⊥CE，當=75°時，AD⊥BE，當=45°時，CD⊥BE．