Question

如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動．（點P異于點O）
（1）求此拋物線的解析式．
（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R，
①求證：PF=PR；
②是否存在點P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點為坐標原點，
∴A、D關于拋物線的對稱軸對稱；
∵E是AB的中點，
∴O是矩形ABCD對角線的交點，又B（2，1）
∴A（2，-1）、D（-2，-1）；
由于拋物線的頂點為（0，0），可設其解析式為：y=ax²，則有：
4a=-1，a=-
∴拋物線的解析式為：y=-x²．

（2）①證明：由拋物線的解析式知：P（a，-a²），而R（a，1）、F（0，-1），
則：PF===a²+1，PR=1-（-a²）=a²+1．
∴PF=PR．

②由①得：RF=；
若△PFR為等邊三角形，則RF=PF=PR，得：
=a²+1，即：a⁴-a²-3=0，得：
a²=-4（舍去），a²=12；
∴a=±2，-a²=-3；
∴存在符合條件的P點，坐標為（2，-3）、（-2，-3）．

③同①可證得：QF=QS；
在等腰△SQF中，∠1=（180°-∠SQF）；
同理，在等腰△RPF中，∠2=（180°-∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=（360°-∠SQF-∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°-∠1-∠2=90°，
即△SFR是直角三角形．
分析：（1）根據題意能判斷出點O是矩形ABCD的對角線交點，因此D、B關于原點對稱，A、B關于x軸對稱，得到A、D的坐標后，利用待定系數法可確定拋物線的解析式．
（2）①首先根據拋物線的解析式，用一個未知數表示出點P的坐標，然后表示出PF、RF的長，兩者進行比較即可得證；
②首先表示RF的長，若△PFR為等邊三角形，則滿足PF=PR=FR，列式求解即可；
③根據①的思路，不難看出QF=QS，若連接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°減去這個和值即可判斷出△RSF的形狀．
點評：該題考查了二次函數的性質及解析式的確定、矩形的性質、特殊三角形的判定等知識，綜合性較強．在解答題目時，要注意數形結合，并靈活應用前面小題中證得的結論．