Question

如圖，點A、B、D、在⊙O上，弦AE、BD的延長線相交于點C.。若AB是⊙O的直徑，D是BC的中點.

（1）試判斷AB、AC之間的大小關系，并給出證明；
（2）在上述題設條件下，△ABC還需滿足什么條件，點E才一定是AC的中點？（直接寫出結論）

Answer 1

（1）AB=AC；（2）△ABC為正三角形，或AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C．

試題分析：（1）連接AD；由圓周角定理可得AD⊥BC，又D是BC的中點，因此AD是BC的垂直平分線，由此可得出AB=AC的結論．
（2）若E是AC的中點，那么連接BE后，同（1）可證得AB=BC；由（1）知：AB=AC，那么此時AB=AC=BC，即△ABC是等邊三角形．可根據這個結論來添加條件．
（1）AB=AC．
證法一：
連接AD．

∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC．
∵AD為公共邊，BD=DC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS）．∴AB=AC．
證法二：
連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC．
又BD=DC，∴AD是線段BD的中垂線．
∴AB=AC．
（2）△ABC為正三角形，或AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C．
點評：解答本題的關鍵數是掌握好直徑所對的圓周角是直角，垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。