Question

如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求證：
（1）CG=BH；
（2）FC²=BF•GF；
（3）=．

Answer 1

（1）△ABH≌△BCG，∴CG=BH   （2）△CFG∽△BFC，∴=，即FC²=BF•GF
（3）∵AB=BC，∴AB²=BG•BF（具體過程見解析）

試題分析：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH；
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴=，
即FC²=BF•GF；   
（3）由（2）可知，BC²=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB²=BG•BF，
∴==，
即=．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質．關鍵是由垂足得出互余關系求角相等，由邊相等證明三角形全等，由角相等證明相似三角形，利用性質解題．