Question

探索題
（1）已知：如圖1，△ABC為等邊三角形，D為AC上一點，以BD為一邊作等邊△DBE，連接AE，試確定AC、AD、AE之間的關系并證明你的猜想．
（2）如果D為AC延長線上一點，如圖2，試確定AC、AD、AE之間的關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）首先利用等邊三角形的性質得出∠CBD=∠ABE，進而得出△ABE≌△CBD，即可得出AC=AD+AE；
（2）首先利用等邊三角形的性質得出∠CBD=∠ABE，進而得出△ABE≌△CBD，即可得出AC=AD-AE．

解答：（1）猜想AC、AD、AE之間的關系為：AC=AD+AE，
證明：∵△ABC和△DBE均為等邊三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∵∠CBD=60°-∠ABD，∠ABE=60°-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，
∵AC=AD+CD，
∴AC=AD+AE；

（2）猜想AC、AD、AE之間的關系為：AC=AD-AE，
證明：∵△ABC和△DBE均為等邊三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∵∠CBD=∠ABD-60°，∠ABE=∠ABD-60°，
∴∠CBD=∠ABE，
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，
∵AC=AD-CD，
∴AC=AD-AE．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．