Question

（本題滿分12分）如圖，在數軸上點A、B、C表示的數分別為-2，1，6，點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點C之間的距離表示為AC．

（1）則AB= ，BC= ，AC= ；

（2）點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動。請問：BC－AB的值是否隨著運動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值；

（3）由第（1）小題可以發現，AB+BC=AC．若點C以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時，點A和點B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運動．請問：隨著運動時間t的變化， AB、BC、AC之間是否存在類似于（1）的數量關系？請說明理由．

Answer 1

（1）AB= 3 ，BC= 5 ，AC= 8 ．

（2）BC－AB的值不會隨著時間的變化而改變．

BC－AB=（5t-2t+5）-（t+2t+3)=2 ；

（3）存在，

AB=t+3

BC=5-5t(t≤1時) 或 BC=5t-5 (t＞1時)

AC=8-4t (t≤2時) 或 AC=4t-8(t＞2)

當t≤1時，AB+BC=（t+3）+(5-5t)=8-4t=AC

當1＜t≤2時，BC+AC=(5t-5)+(8-4t)=t+3=AB

當t＞2時，AB+AC=(t+3)+(4t-8)=5t-5=BC．

【解析】

試題分析：（1）根據數軸上兩點間的距離直接可得線段長度；

要想知道（BC-AB）是否隨的變化而變化，就要看表示（BC-AB）的代數式是否與t有關，是否含有t．可用含t的代數式把（BC-AB）表示出來再化簡，再作判斷；

（3）借助數軸先用t表示AB、BC、AC的長度，AB=t+3；BC=5-5t(t≤1) 或 BC=5t-5 (t＞1)；AC=8-4t (t≤2時) 或 AC=4t-8(t＞2)．再根據t的取值來分情況討論．

試題解析：（1）AB= 3 ，BC= 5 ，AC= 8 ．

（2）因為A、B兩點是反向運動，所以AB=t+2t+3；因為B、C兩點是同向運動，所以BC=（5t-2t+5）．可得BC－AB=（5t-2t+5）-（t+2t+3)=2，即無論t取何值，BC－AB都是2，不會變化；

（3）根據題意可知：

AB=2t+3-t=t+3；

BC=5-2t-3t= 5-5t(t≤1時) 或 BC=2t+3t-5=5t-5 (t＞1時)；

AC=8-t-3t=8-4t (t≤2時) 或 AC=t+3t-8=4t-8(t＞2)．

當t≤1時，AB+BC=（t+3）+(5-5t)=8-4t=AC；

當1＜t≤2時，BC+AC=(5t-5)+(8-4t)=t+3=AB；

當t＞2時，AB+AC=(t+3)+(4t-8)=5t-5=BC．

所以，隨著運動時間t的變化， AB、BC、AC之間存在類似于（1）的數量關系．

考點：（1）數軸上兩點間的距離；（2）用代數式表示數量關系；（3）整式的加減．

考點分析： 考點1：有理數 1、有理數的概念：正數和分數統稱為有理數．
2、有理數的分類：
①按整數、分數的關系分類；                  ②按正數、負數與0的關系分類．
有理數{整數{正整數0負整數分數{正分數負分數  有理數   {正數{正整數正分數0負數{負整數負分數
注意：如果一個數是小數，它是否屬于有理數，就看它是否能化成分數的形式，所有的有限小數和無限循環小數都可以化成分數的形式，因而屬于有理數，而無限不循環小數，不能化成分數形式，因而不屬于有理數． 試題屬性

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