Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（－1，0），（3，0），現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．

(1)求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積 
（2）在y軸上是否存在一點P，連接PA，PB，使＝，若存在這樣一點，求出點P的坐標，若不存在，試說明理由．
(3)點P是線段BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合）給出下列結論：① 的值不變，② 的值不變，其中有且只有一個是正確的，請你找出這個結論并求其值．

Answer 1

（1）點C，D的坐標分別為C（0，2），D(4，2) ，
四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}＝8
（2）在y軸的正負半軸分別存在一點P(0，4)或P(0，－4)
（3）①是正確的結論

試題分析：（1）依題意知，將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，故C、D兩點點y值為2. 所以點C，D的坐標分別為C（0，2），D(4，2) ，
四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}＝CO×AB=2×4=8
（2）（2）在y軸上是否存在一點P，使S△PAB=S四邊形ABDC．理由如下：
設點P到AB的距離為h，
S△PAB=×AB×h=2h，
由S△PAB=S四邊形ABDC，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）①是正確的結論，過點P作PQ∥CD，
因為AB∥CD，所以PQ∥AB∥CD（平行公理的推論） 
∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠BOP＝∠OPQ(兩直線平行，內錯角相等)，  
∴∠DCP＋∠BOP＝∠CPQ +∠OPQ ＝∠CPO
所以＝=1．
點評：本題考查了坐標與圖形平移的關系，坐標與平行四邊形性質的關系及三角形、平行四邊形的面積公式，解題的關鍵是理解平移的規律．