Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB上一點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連結OM、ON、BM、BN．

求證：（1）△AOM∽△DMN； （2）求∠MBN的度數．

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、45°.

【解析】試題分析：（1）、根據切成的性質得出∠AMO+∠DMN=90°，根據正方形性質得出∠A=∠D=90°，即∠AMO+∠AOM=90°，從而得出∠AOM=∠DMN，得出三角形相似；（2）、作BP⊥MN，根據切線和AD∥BC得出Rt△MAB≌Rt△MPB，得到∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，然后得出Rt△BPN≌Rt△BCN，得出∠PBN=∠CBN，根據∠MBN=∠MBP+∠PBN=∠ABC得出答案.

試題解析：（1）、∵MN是⊙O的切線， ∴OM⊥MN，∴∠AMO+∠DMN=90°，

又∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠A=∠D=90°，∴∠AMO+∠AOM=90°， ∴∠AOM=∠DMN，

∴△AMO∽△DMN

（2）、如圖，作BP⊥MN于點P，

∵MN是⊙O的切線，∴∠PMB+∠BMO=90°，

∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠MBO=90°， ∵OB=OM，∴∠BMO=∠MBO， ∴∠PMB=∠CBM，

∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB， ∴∠AMB=∠PMB，

在Rt△MAB和Rt△MPB中，， ∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）

∴∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，

在Rt△BPN和Rt△BCN中，， ∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL） ∴∠PBN=∠CBN，

∴∠MBN=∠MBP+∠PBN=∠ABC=45°．