Question

【題目】菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC=4 ，BD=4，動點P在線段BD上從點B向點D運動，PF⊥AB于點F，四邊形PFBG關于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關于AC對稱．設菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1 ， 未被蓋住部分的面積為S2 ， BP=x．
（1）用含x的代數式分別表示S1 ， S2；
（2）若S1=S2 ， 求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當點P在BO上，0＜x≤2時，如圖1所示．

∵四邊形ABCD是菱形，AC=4 ，BD=4，

∴AC⊥BD，BO= BD=2，AO= AC=2 ，

且S菱形ABCD= BDAC=8 ．

∴tan∠ABO= = ．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP= =sin60°= ．

∴FP= x．

∴BF= ．

∵四邊形PFBG關于BD對稱，

四邊形QEDH與四邊形PEBG關于AC對稱，

∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ．

∴S1=4S△BFP

=4× × x

= ．

∴S2=8 ﹣ ．

②當點P在OD上，2＜x≤4時，如圖2所示．

∵AB=4，BF= ，

∴AF=AB﹣BF=4﹣ ．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣ ．

∴tan∠FAM= =tan30°= ．

∴FM= （4﹣ ）．

∴S△AFM= AFFM

= （4﹣ ） （4﹣ ）

= （4﹣ ）2．

∵四邊形PFBG關于BD對稱，

四邊形QEDH與四邊形FPBG關于AC對稱，

∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN．

∴S2=4S△AFM

=4× （4﹣ ）2

= （x﹣8）2．

∴S1=8 ﹣S2=8 ﹣ （x﹣8）2．

綜上所述：

當0＜x≤2時，S1= ，S2=8 ﹣ ；

當2＜x≤4時，S1=8 ﹣ （x﹣8）2，S2= （x﹣8）2

（2）解：①當點P在BO上時，0＜x≤2．

∵S1=S2，S1+S2=8 ，

∴S1=4 ．

∴S1= =4 ．

解得：x1=2 ，x2=﹣2 ．

∵2 ＞2，﹣2 ＜0，

∴當點P在BO上時，S1=S2的情況不存在．

②當點P在OD上時，2＜x≤4．

∵S1=S2，S1+S2=8 ，

∴S2=4 ．

∴S2= （x﹣8）2=4 ．

解得：x1=8+2 ，x2=8﹣2 ．

∵8+2 ＞4，2＜8﹣2 ＜4，

∴x=8﹣2 ．

綜上所述：若S1=S2，則x的值為8﹣2 ．

【解析】（1）根據對稱性確定E、F、G、H都在菱形的邊上，由于點P在BO上與點P在OD上求S1和S2的方法不同，因此需分情況討論．（2）由S1=S2和S1+S2=8 可以求出S1=S2=4 ．然后在兩種情況下分別建立關于x的方程，解方程，結合不同情況下x的范圍確定x的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用菱形的性質和軸對稱的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上．