Question

（14分）在研究勾股定理時，同學們都見到過圖1，∠，四邊形、、都是正方形.

⑴連結、得到圖2，則△≌△，此時兩個三角形全等的判定依據是

  ▲  ；過作⊥于，交于，則_△；同理_△，得，然后可證得勾股定理.

⑵在圖1中，若將三個正方形“退化”為正三角形，得到圖3，同學們可以探究△、△、△的面積關系是      ▲    .

⑶為了研究問題的需要，將圖1中的△也進行“退化”為銳角△，并擦去正方形得圖4，由兩邊向三角形外作正△、正△，△的外接圓與交于點，此時、、共線，從△內一點到、、三個頂點的距離之和最小的點恰為點（已經被他人證明）.設＝3，＝4，.求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）.⑶

【解析】（1） 

（2）.

（3）在上截取＝，連.

∵為正三角形，

＝＝＝3.

∴∠60°, ∠60°.

∴為正三角形

∴＝＝

∴∠60°.

∴∠180°－∠180°－60°＝120°.

∠∠＋∠60°＋60°＝120°.

∴△≌△

∴＝

∴＋＋＝＋＋＝AD

在△中，＝3，＝4，∠＝∠＋∠＝120°.

可求得：＝.

即＋＋＝